From 0b4958a0e0cb678dc15228dfa9c96e54bacc3a86 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: John Charron Date: Thu, 21 Oct 2010 15:26:20 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Quelques=20am=C3=A9liorations=20de=20la=20mise?= =?UTF-8?q?=20en=20forme,=20quelques=20r=C3=A9visions=20du=20d=C3=A9but=20?= =?UTF-8?q?de=20la=20partie=20"Question=202"=20par=20Georges=20(gd=20&=20j?= =?UTF-8?q?c)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- rapport.tex | 45 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 38 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/rapport.tex b/rapport.tex index 3baaf4a..218e146 100644 --- a/rapport.tex +++ b/rapport.tex @@ -7,11 +7,21 @@ \usepackage{amsmath} \usetikzlibrary{chains,positioning,matrix} +\newenvironment{enonce}{}{} + \begin{document} \section{Partie théorique} \subsection{Partie algorithmique} +\subsubsection{Exercice 1} +\begin{enonce} +Modélisation et résolution d'un problème d'ordonnancement par un problème de flot maximum : +ordonnancement avec coûts dépendants des dates de début. +\end{enonce} + + + \begin{figure}[h!] \centering \begin{tikzpicture}[node distance=3cm] @@ -26,6 +36,24 @@ \label{fig:graphe-g} \end{figure} +\begin{enonce} +Construire le graphe $G*$ pour $n = 3$, $T = 5$, $p_1 = 1$, $p_2 = 2$, $p_3 = 1$, +$E = \{(1,2), (1,3), (3,2)\}$ et les coûts suivants : + +\begin{figure}[h!] + \centering + \begin{tabular}{cccccc} + \hline + $i,t$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ + \hline + 1 & 0 & 2 & 5 & 0 & 1\\ + 2 & 1 & 1 & 2 & 4 & -\\ + 3 & 1 & 10 & 2 & 3 & 3\\ + \hline +\end{tabular} +\end{figure} +\end{enonce} + \begin{figure}[h!] \centering \colorlet{affectation}{green!50!black} @@ -116,16 +144,19 @@ \end{figure} \subsubsection{Question 2} +\begin{enonce} +Montrer qu'il existe une coupe dans G* de capacité minimale de laquelle sort un et un seul arc d'affectation par job. +\end{enonce} Démonstration par construction~: -On effectue un tri topologique sur le graphe des contraintes de précédence. Le graphe resultant est $G' (\{J_{1}\ldots J_{n}\}, E') $. On a donc~: -$$\forall J_{i} \quad \not\exists \ j < i \quad | \quad \exists (J_{j}, J_{i}) \in E'$$ -On transforme ensuite $G'$ en un graphe de flots à l'aide de l'algorithme fourni dans le sujet. -Considérons les arcs entre les $v_{i,j}$~: +On effectue un tri topologique sur le graphe des contraintes de précédence $G(\{J_1, \dots, J_n\}, E)$. Ce tri topologique nous donne un ensemble ordonné de n\oe uds $(J_{a1}, \dots, J_{an})$. On a donc~: +$$\forall J_{ai} \quad \not\exists \ j < i \quad | \quad \exists (J_{aj}, J_{ai}) \in E$$ +On transforme ensuite $G$ en un graphe de flots à l'aide de l'algorithme fourni dans le sujet. +Considérons les arcs entre les $v_{ai,t}$~: \begin{itemize} - \item Arcs d'affectation~: ces arcs sont entre des sommets $v_{i,j}$ et $v_{k,l}$ avec $i = k$ - \item Arcs de précédences~: ces arcs sont entre des sommets $v_{i,j}$ et $v_{k,l}$ avec $i < k$ à cause du tri topologique. - \item Arcs auxiliaires~: ces arcs ne sont pas entre des sommets $v_{i,j}$. + \item Arcs d'affectation~: ces arcs sont entre des sommets $v_{ai,t}$ et $v_{aj,t'}$ avec $ai = aj$ + \item Arcs de précédences~: ces arcs sont entre des sommets $v_{ai,t}$ et $v_{aj,t'}$ avec $ai < aj$, car grâce au tri topologique, il n'existe pas d'arcs entre des sommets $J_{ai}$ et $J_{aj}$ avec $aj < ai$, et de plus il n'y a pas de boucle (donc pas d'arc $(J_{ai},J_{ai})$ dans $G$, donc pas d'arc $(v_{ai,t}, v_{ai,t'})$ dans $G*$). + \item Arcs auxiliaires~: ces arcs ne sont pas entre des sommets $v_{ai,t}$. \end{itemize} On va créer une $(s-t)-\mathrm{coupe}$ minimale. Etant donné que cette coupe est minimale, aucun arc de capacité infinie n'a son origine dans $S$ et son extremité dans $\overline{S}$.