Ajout des figures pour l'énumération des couples.
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Georges Dupéron
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dff85cbcfa
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18abb12ab0
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.gitignore
vendored
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.gitignore
vendored
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@ -1,4 +1,5 @@
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rapport.aux
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rapport.log
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rapport.pdf
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rapport.synctex.gz
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rapport.toc
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rapport.synctex.gz
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275
rapport.tex
275
rapport.tex
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@ -5,7 +5,7 @@
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\usepackage[frenchb]{babel}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{amsmath}
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\usetikzlibrary{chains,positioning,matrix}
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\usetikzlibrary{chains,positioning,matrix,arrows,decorations,calc}
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@ -511,18 +511,289 @@ Enfin, vous justifierez l'équivalence de la réponse au problème 2-SAT et au p
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Comment énumérer les couples d'entiers ?
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\end{enonce}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[
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dot/.style = {
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circle,
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fill=black,
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inner sep=0.5pt
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},
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arc/.style = {
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->,
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>=stealth
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}
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]
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\foreach \xpos in {0, ..., 4} {
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\foreach \ypos in {0, ..., 4} {
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\node[dot] at (\xpos,-\ypos) {};
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}
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}
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\draw[arc] (0,-0) -- (1,-0);
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\draw[arc] (1,-0) -- (0,-1);
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\draw[arc] (0,-1) -- (0,-2);
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\draw[arc] (0,-2) -- (1,-1);
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\draw[arc] (1,-1) -- (2,-0);
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\draw[arc] (2,-0) -- (3,-0);
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\draw[arc] (3,-0) -- (2,-1);
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\draw[arc] (2,-1) -- (1,-2);
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\draw[arc] (1,-2) -- (0,-3);
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\draw[arc] (0,-3) -- (0,-4);
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\draw[arc] (0,-4) -- (1,-3);
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\draw[arc,dashed] (1,-3) -- (2,-2);
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\caption{Graphe G}
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\label{fig:codage-zigzag}
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\end{figure}
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\begin{enonce}
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Donner les fonctions de codage et de décodage f1(z)->x et f2(z)->y.
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\end{enonce}
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% TODO : John
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\begin{enonce}
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Montrer que l'on peut coder les triplets. Généraliser aux k-uplets, puis aux listes de longueurs quelconques.
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\end{enonce}
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Pour coder un triplet $(x_1, x_2, x_3)$, on code d'abord le couple $(x_1, x_2)$, puis, soit $x^*$ le résultat intermédiaire, on code le couple $(x^*, x_3)$.
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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||||
\node (x11) {$x_1$};
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||||
\node[right of=x11] (x21) {$x_2$};
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||||
\node[right of=x21] (x31) {$x_3$};
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||||
\node[coordinate] (xmark) at ($ .5*(x11) + .5*(x21) $) {};
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||||
\node[below of=xmark] (x*2) {$x^*$};
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||||
\node[coordinate] (xmark2) at ($ .5*(xmark) + .5*(x*2) $) {};
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\node[anchor=base] (x32) at (x*2.base -| x31) {$x_3$};
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\node[coordinate] (xmark4) at ($ .5*(x*2) + .5*(x32) $) {};
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||||
\node[below of=xmark4] (x*3) {résultat};
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||||
\node[coordinate] (xmark5) at ($ .5*(xmark4) + .5*(x*3) $) {};
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\draw (x11) -- (xmark2);
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\draw[->] (x21) -- (xmark2) -- (x*2);
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\draw[->] (x31) -- (x32 |- x*2.north);
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||||
\draw (x*2) -- (xmark5);
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||||
\draw[->] (x32) -- (xmark5) -- (x*3);
|
||||
\end{tikzpicture}
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||||
\caption{Graphe G}
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||||
\label{fig:codage-couple}
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||||
\end{figure}
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||||
Le décodage suit tout simplement le chemin inverse (on décode ne nombre en $(x^*, x_3)$, puis on décode $x^*$ en $(x_1, x_2)$ et on recompose en $(x_1, x_2, x_3)$.
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||||
La généralisation aux k-uplets suit le même principe : On code les deux premiers nombres de la paire en nommant le résultat $x^*$, puis, on
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code successivement chaque paire $(x^*, x_i)$, avec $x_i$ qui vaut successivement chaque élément du k-uplet, et $x^*$ qui vaut à chaque fois
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le résultat précédent.
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Le décodage d'un k-uplet de longueur k décodera le nombre en une paire $(x^*, x_i)$ $k-1$ fois, et la dernière paire ainsi générée sera
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$(x_1, x_2)$. Il suffira alors de recomposer le k-uplet à partir de $x_1$, $x_2$ et tous les $x_i$.
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||||
Le codage et le décodage d'un singleton sont triviaux : $(x_1) \leftrightarrow x_1$.
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Pour les listes de longueur quelconque, le problème est de savoir combien de fois faudra-t-il décoder le résultat. En effet, $(0)$, $(0,0)$
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et $(0,0,0)$ ont le même code, $0$, donc il n'y a plus de bijection entre la liste et les entiers naturels, donc ambigüité lors du décodage.
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Étant donné que pour un k donné, il y a une bijection entre les k-uplets et les entiers naturels, il nous suffit d'ajouter une information
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permettant de déterminer de manière unique la valeur de k. On code donc d'abbord le k-uplet correspondant à la liste, en nommant le résultat
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||||
$x^*$, puis on code le couple $(x^*, k)$. Au décodage, on décodera le nombre pour obtenir $x^*$ et $k$, et on décodera $x^*$ avec la méthode
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de décodage des k-uplets donnés ci-dessus.
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Reste un dernier problème, celui de pouvoir encoder des listes d'entiers relatifs (et non pas juste des entiers naturels). Pour cela, on
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fera une transformation préalable sur chaque élément des k-uplets :
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Soit $n$ le $i$-ième élément du k-uplet, si $n$ est positif, on le transforme en le $n$-ième nombre pair, sinon, il est strictement négatif et on le transforme en le $|n|-1$ ième nombre impair. Ainsi, $0 \mapsto 0$, $1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 4$, $-1 \mapsto 1$, $-2 \mapsto 3$, \dots
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\begin{equation}
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\begin{array}{r l}
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\mathrm{transformation} : Z & \longrightarrow N \\
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n & \mapsto
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\left \{
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||||
\begin{array}{r l}
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||||
2n & \text{si $n$ est pair} \\
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||||
2(|n|-1) & \text{si $n$ est impair}
|
||||
\end{array}
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||||
\right .
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||||
\end{array}
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||||
\end{equation}
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Le codage d'une liste d'entiers relatifs peut donc être résumé par la figure \ref{fig:codage-all}
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\begin{figure}[h!]
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||||
\centering
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||||
\begin{tikzpicture}[
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level distance=0.7cm,
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||||
circle,
|
||||
inner sep=0.1pt,
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||||
]
|
||||
\node[rectangle, inner sep=1pt] (res) {$\text{résultat}$} [grow=up]
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||||
child[draw=red] {
|
||||
node[coordinate] (catch-k) {} edge from parent[<-]
|
||||
}
|
||||
child {
|
||||
node {x*}
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {
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||||
node (xk) {$x_{\phantom{k}}$}
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||||
% node[anchor=base] at (xk.base) {$\vphantom{x}_{k}$}
|
||||
% node[anchor=east] at (xk.east) {$\hphantom{x}_{k}$}
|
||||
node[anchor=base] (get-k-v) at (xk.base) {$\vphantom{x}_{\phantom{k}}$}
|
||||
node[anchor=east] (get-k-h) at (xk.east) {$\hphantom{x}_{\phantom{k}}$}
|
||||
node[coordinate] (get-k-se) at (get-k-v.south -| get-k-h.east) {}
|
||||
node[coordinate] (get-k-nw) at (get-k-v.north -| get-k-h.west) {}
|
||||
node[anchor=base east, draw=red, inner sep=0.15pt] (the-k)
|
||||
at (get-k-v.base -| get-k-h.east) {$\vphantom{.}_{k}$}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
} edge from parent[<-]
|
||||
}
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||||
child {
|
||||
node {x*}
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {node {...} edge from parent[dashed]}
|
||||
edge from parent[dashed]
|
||||
}
|
||||
edge from parent[dashed]
|
||||
}
|
||||
edge from parent[dashed]
|
||||
}
|
||||
edge from parent[dashed,<-]
|
||||
}
|
||||
child {
|
||||
node{x*}
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {node {$x_5$}}
|
||||
}
|
||||
} edge from parent[<-]
|
||||
}
|
||||
child {
|
||||
node{x*}
|
||||
child {
|
||||
child {
|
||||
child {node {$x_4$}}
|
||||
} edge from parent[<-]
|
||||
}
|
||||
child {
|
||||
node{x*}
|
||||
child {
|
||||
child {node {$x_3$}} edge from parent[<-]
|
||||
}
|
||||
child {
|
||||
node{x*} [sibling distance=7.5mm] edge from parent[<-]
|
||||
child {node {$x_2$} edge from parent[<-]}
|
||||
child {node {$x_1$} edge from parent[<-]}
|
||||
child[missing] {}
|
||||
} edge from parent[<-]
|
||||
} edge from parent[<-]
|
||||
} edge from parent[<-]
|
||||
} edge from parent[<-]
|
||||
} edge from parent[<-]
|
||||
};
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||||
|
||||
\draw[red] (the-k) -| (catch-k);
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||||
\node[xshift=0cm, anchor=base west] at (res.base east) {$\vphantom{\text{résultat}} = \operatorname{code}(x^*,k)$};
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||||
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||||
% \node (e11) {$x_1$};
|
||||
% \node[right of=e11] (e21) {$x_2$};
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||||
% \node[right of=e21] (e31) {$x_3$};
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||||
% \node[right of=e31] (e41) {$x_4$};
|
||||
% \node[right of=e41] (e51) {$x_5$};
|
||||
% \node[right of=e51] (ed1) {\dots};
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||||
% \node[right of=ed1] (ek1) {$x_k$};
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||||
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||||
% \matrix[column sep=2mm, row sep=7mm]{
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||||
% \node (e11) {$x_1$}; & \node[coordinate] (o11) {}; &
|
||||
% \node (e21) {$x_2$}; & \node[coordinate] (o21) {}; &
|
||||
% \node (e31) {$x_3$}; & \node[coordinate] (o31) {}; &
|
||||
% \node (e41) {$x_4$}; & \node[coordinate] (o41) {}; &
|
||||
% \node (e51) {$x_5$}; & \node[coordinate] (o51) {}; &
|
||||
% \node (ed1) {\dots}; & \node[coordinate] (o61) {}; &
|
||||
% \node (ek1) {$x_k$}; & \node[coordinate] (o71) {}; \\
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||||
|
||||
% \node[coordinate] (e12) {}; & \node (o11) {$x^*$}; &
|
||||
% \node (e22) {$x_2$}; & \node[coordinate] (o22) {}; &
|
||||
% \node (e32) {$x_3$}; & \node[coordinate] (o32) {}; &
|
||||
% \node (e42) {$x_4$}; & \node[coordinate] (o42) {}; &
|
||||
% \node (e52) {$x_5$}; & \node[coordinate] (o52) {}; &
|
||||
% \node (ed2) {\dots}; & \node[coordinate] (o62) {}; &
|
||||
% \node (ek2) {$x_k$}; & \node[coordinate] (o72) {}; \\
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||||
|
||||
% \node[coordinate] (e12) {}; & \node[coordinate] (o12) {}; &
|
||||
% \node[coordinate] (e22) {}; & \node (o22) {$x^*$}; &
|
||||
% \node (e32) {$x_3$}; & \node[coordinate] (o32) {}; &
|
||||
% \node (e42) {$x_4$}; & \node[coordinate] (o42) {}; &
|
||||
% \node (e52) {$x_5$}; & \node[coordinate] (o52) {}; &
|
||||
% \node (ed2) {\dots}; & \node[coordinate] (o62) {}; &
|
||||
% \node (ek2) {$x_k$}; & \node[coordinate] (o72) {}; \\
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||||
|
||||
% \node[coordinate] (e12) {}; & \node[coordinate] (o12) {}; &
|
||||
% \node[coordinate] (e22) {}; & \node[coordinate] (o22) {}; &
|
||||
% \node[coordinate] (e32) {}; & \node (o32) {$x^*$}; &
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||||
% \node (e42) {$x_4$}; & \node[coordinate] (o42) {}; &
|
||||
% \node (e52) {$x_5$}; & \node[coordinate] (o52) {}; &
|
||||
% \node (ed2) {\dots}; & \node[coordinate] (o62) {}; &
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||||
% \node (ek2) {$x_k$}; & \node[coordinate] (o72) {}; \\
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||||
|
||||
% \node[coordinate] (e12) {}; & \node[coordinate] (o12) {}; &
|
||||
% \node[coordinate] (e22) {}; & \node[coordinate] (o22) {}; &
|
||||
% \node[coordinate] (e32) {}; & \node[coordinate] (o32) {}; &
|
||||
% \node[coordinate] (e42) {}; & \node (o42) {$x^*$}; &
|
||||
% \node (e52) {$x_5$}; & \node[coordinate] (o52) {}; &
|
||||
% \node (ed2) {\dots}; & \node[coordinate] (o62) {}; &
|
||||
% \node (ek2) {$x_k$}; & \node[coordinate] (o72) {}; \\
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||||
% };
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||||
% \node[coordinate] (x11-21) at ($ .5*(x11) + .5*(x21) $) {};
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||||
% \node[coordinate] (x21-31) at ($ .5*(x11) + .5*(x21) $) {};
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||||
% \node[coordinate] (x31-41) at ($ .5*(x11) + .5*(x21) $) {};
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||||
% \node[coordinate] (x41-51) at ($ .5*(x11) + .5*(x21) $) {};
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||||
% \node[coordinate] (x51-d1) at ($ .5*(x11) + .5*(x21) $) {};
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||||
% \node[coordinate] (xd1-k1) at ($ .5*(x11) + .5*(x21) $) {};
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||||
|
||||
% \node[below of=xmark] (x*2) {$x^*$};
|
||||
% \node[coordinate] (xmark2) at ($ .5*(xmark) + .5*(x*2) $) {};
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||||
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||||
% \node[anchor=base] (x32) at (x*2.base -| x31) {$x_3$};
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||||
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||||
% \node[coordinate] (xmark4) at ($ .5*(x*2) + .5*(x32) $) {};
|
||||
% \node[below of=xmark4] (x*3) {résultat};
|
||||
% \node[coordinate] (xmark5) at ($ .5*(xmark4) + .5*(x*3) $) {};
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||||
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||||
% \draw (x11) -- (xmark2);
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% \draw[->] (x21) -- (xmark2) -- (x*2);
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% \draw[->] (x31) -- (x32 |- x*2.north);
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||||
% \draw (x*2) -- (xmark5);
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||||
% \draw[->] (x32) -- (xmark5) -- (x*3);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Graphe G}
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||||
\label{fig:codage-all}
|
||||
\end{figure}
|
||||
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||||
\begin{enonce}
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||||
Peut-on énumérer les fonctions C syntaxiquements correctes ? Et les fonctions C qui ne bouclent jamais ? Justifier vos réponses le plus clairement et le plus synthétiquement possible.
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Peut-on énumérer les fonctions C syntaxiquements correctes ? Et les fonctions C qui ne bouclent jamais ? Justifier vos réponses le plus
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||||
clairement et le plus synthétiquement possible.
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||||
\end{enonce}
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