Écriture des réponses pour quelques TODOs.
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Georges Dupéron
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@ -512,27 +512,75 @@ $$(a \times b) = \dfrac{(a + b)^2 - a^2 - b^2}{2}$$
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Lorsqu'il est possible de réduire un problème difficile en un problème que l'on sait résoudre, la difficulté demeure souvent dans la réduction elle-même.
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GEORGES : Définition de la réduction de SAT à 3-SAT :
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On prend chaque clause de littéraux du problème SAT, et on la transforme en une ou plusieurs clauses de la manière suivante :
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Si la clause possède 3 littéraux (ou moins), on la laisse telle qu'elle (elle est déjà sous «forme» SAT-3).
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Sinon, soient $l_1, \dots, l_n$ les littéraux de la clause, on construit plusieurs clauses ainsi :
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$$
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{l_1, l_2, z_1}, {\lnot z_1, l_3, z_2}, {\lnot z_2, l_4, z_3}, \dots, {\lnot z_{i-2}, l_{i}, z_{i-1}}, \dots, {\lnot z_{n-3}, l_{n-1}, l_{n}}
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$$
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Les $z_i$ sont des variables % TODO JOHN !!!! : corrige le nom "variable", je ne sais pas comment on dit.
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qu'on crée pour relier les clauses entre elles, et qui n'existent pas dans la formule.
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Par exemple, la clause ${a, \lnot b, c d}$ sera transformée en deux clauses : ${a, \lnot b, z_1}$ et ${\lnot z_1, c, d}$, et la clause
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${\lnot a, b, \lnot c, d, e}$ sera transformée en trois clauses : ${\lnot a, b, z_1}$ et ${\lnot z_1, \lnot c, z_2}$ et ${\lnot z_2, d, e}$.
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Les clauses créées sont équivalentes à la clause d'origine car, à chaque fois, soit un des littéraux d'origine vérifie la clause, et $z_i$
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peut être faux, ce qui permet au $\lnot z_i$ de valider la clause suivante, de proche en proche, soit aucun des littéraux d'origine ne
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vérifie la clause, auquel cas, si on prend un $z_i$ faux, la clause est fausse, et si on prend un $z_i$ vrai, la clause suivante contiendra
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$\lnot z_i$ qui sera faux, et le résultat dépendra des variables de la clause suivante (ou des suivantes). % TODO BERTRAND : éclaircir ça, c'est mal expliqué.
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Si on souhaite que le résultat soit strictement 3-SAT (toutes les clauses contiennent 3 littéraux, pas plus, pas moins), on applique les transformations suivantes :
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\begin{itemize}
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\item Les clauses qui contienntent un seul littéral, ${l_1}$, sont transformées en ${l_1, l_1, l_1}$.
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\item Les clauses qui contiennent exactement deux littéraux, ${l_1, l_2}$ sont transformées en ${l_1, l_2, l_1}$.
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\end{itemize}
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Cette transformation est linéaire en complexité (on ne considère chaque littéral qu'une fois, et on ajoute $n-3$ littéraux pour chaque clause), donc de complexité polynomiale.
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\begin{sousenonce}
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Justifier alors que 3-SAT est NP-complet (sachant que SAT est NP-complet).
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\end{sousenonce}
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TODO: Georges ? Bertrand ? Yoann ? Je ne sais pas comment répondre à cette question ! (jc)
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Vu que SAT est np-complet, et que 3-SAT sait faire ce que sait faire SAT, avec une transformation polynomiale, du coup 3-SAT (+ la
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transformation) est au moins aussi dur que SAT. La difficulté peut résiter dans la transformation, 3-SAT ou les deux.
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Vu que la difficulté ne s'est pas cachée dans la transformation (qui est polynomiale, alors que SAT est np-complet), bah 3-SAT est
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np-complet lui aussi. TODO: Georges ? Bertrand ? Yoann ? Je ne sais pas comment répondre à cette question ! (jc)
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\begin{sousenonce}
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Application : si un ensemble de clauses contient n-v variables, n1 clauses à un littéral, n2 clauses à 2 littéraux, n3 clauses à 3 littéraux, n4 clauses à 4 littéraux, n5 clauses à 5 littéraux (et pas d'autres clauses), combien le système obtenu par votre réduction contient-il de variables et de clauses ? Vous devrez bien sûr justifier votre réponse.
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Application : si un ensemble de clauses contient $n_v$ variables, $n_1$ clauses à un littéral, $n_2$ clauses à 2 littéraux, $n_3$ clauses à 3 littéraux, $n_4$ clauses à 4 littéraux, $n_5$ clauses à 5 littéraux (et pas d'autres clauses), combien le système obtenu par votre réduction contient-il de variables et de clauses ? Vous devrez bien sûr justifier votre réponse.
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\end{sousenonce}
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TODO: Georges ? Bertrand ? Yoann ? Je ne sais pas comment répondre à cette question ! (jc)
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Le système obtenu par la réduction contient :
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\begin{itemize}
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\item Une variable supplémentaire pour chaque clause à 4 littéraux.
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\item Deux variables supplémentaires pour chaque clause à 5 littéraux.
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\item Soit au total $n_v + n_4 + 2n_5$ variables.
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\end{itemize}
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De plus, les expansions sont les suivantes :
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\begin{itemize}
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\item Un littéral : 1 clause
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\item Deux littéraux : 1 clause
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\item Trois littéraux : 1 clause
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\item Quatre littéraux : 2 clauses
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\item Cinq littéraux : 3 clause
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\item Soit au total $n_1 + n_2 + n_3 + 2n_4 + 3n_5$ clauses.
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\end{itemize}
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\begin{enonce}
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Pourquoi le principe de la réduction ne permet-il pas de réduire 3-SAT à 2-SAT et de prouver que 2-SAT est NP-complet ? (Il ne s'agit pas d'expliquer pourquoi 2-SAT n'est pas NP-complet, mais pourquoi cette réduction ne marche pas).
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\end{enonce}
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TODO: Georges ? Bertrand ? Yoann ? Je ne sais pas comment répondre à cette question ! (jc)
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Tentons de réduire la clause ${a, b, c}$ de manière similaire à l'algorithme donné pour la réduction de SAT à 3-SAT :
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On a ${a, z_1}$, puis ${\lnot z_1, b}$. Et à ce moment-là, on ne peut pas insérer de variable permettant de faire la liaison entre la clause qui contient $b$ et celle qui contient $c$.
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\begin{enonce}
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Il s'agit de prouver que 2-SAT est un problème polynomial. Vous avez un article en français expliquant cette preuve à http://philippe.gambette.free.fr/SCOL/Graphes
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Il s'agit de prouver que 2-SAT est un problème polynomial. Vous avez un article en français expliquant cette preuve à \\ http://philippe.gambette.free.fr/SCOL/Graphes
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\end{enonce}
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\setcounter{sousenoncecount}{0}
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@ -773,7 +821,6 @@ Il ne serait pas du tout utile de commencer par tous les couples $(0,y_{i})$ te
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Une solution, pour tous les nombres naturels, serait de parcourir un graphe comme suit:
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[
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@ -814,9 +861,6 @@ Une solution, pour tous les nombres naturels, serait de parcourir un graphe comm
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\label{fig:codage-zigzag}
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\end{figure}
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TODO: Il faudrait ajouter les coordonnées (0,0), (1,0), (0,1), et les codes correspondants au graphe ci-dessus, etc. VOIR LES DIAGRAMMES QUE J'AI DONNE A BERTRAND
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Dans la figure \ref{fig:codage-zigzag}, on commence par le couple $(0,0)$, puis on procède aux couples $(1,0)$, $(0,1)$, $(0,2)$, $(1,1)$, $(2,0)$, $(3,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(0,3)$, $(0,4)$\ldots L'algorithme pour simplement parcourir les couples de cette façon consisterait tout d'abord de déclarer et d'intialiser trois variables globales~: le point de départ, \lstinline!*current*!, et les valeurs maximales courantes de $x$ et de $y$, c'est-à-dire \lstinline!*max-x*! et \lstinline!*max-y*!. En LISP, ceci pourrait être codé comme suit~:
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@ -878,6 +922,17 @@ On peut parcourir le graphe à l'aide de la fonction 'zig-zag' qui, elle, se ser
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\end{lstlisting}
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%% TODO : JOHN :
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%% Pour définir un label pour une section / sous-section / …, il faut mettre ceci juste après le \section{…}
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%% \label{foobar}
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%%
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%% Pour avoir le numéro de page correspondant :
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%% \pageref{foobar}
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%%
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%% Pour le numéro de section / sous-section / … :
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%% \ref{foobar}
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%%
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%% Tu changes foobar par un nom de ton choix.
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L'intégralité du programme est en annexe à la page ???. Il existe également une version en C à la page ??.
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Voici une trace de cette fonction en passant \lstinline!*current*! égal à \lstinline!(0 0 0)! en paramètre et avec $n = 100$ :
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@ -1430,6 +1485,24 @@ Plusieurs programmes permettant de coder et de décoder des couples et des k-upl
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clairement et le plus synthétiquement possible.
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\end{enonce}
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GEORGES : quick answer, TODO BERTRAND
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On sait énumérer récursivement toutes les séquences d'octets~:
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Pour passer d'une séquence à la ``suivante'', On prend le dernier octet, s'il est inférieur à 255, on incrémente sa valeur de un, sinon on
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fait ça sur l'octet précédent, et ainsi de suite. Si on arrive au premier octet de la séquence sans avoir pu en incrémenter un, on crée une
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séquence d'octets de longueur $n+1$ (avec $n$ la longueur de la séquence courante), dans laquelle chaque octet vaut zéro.
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Pour énumérer les fonctions C syntaxiquement correctes, on passe successivement chaque séquence d'octets, et on vérifie si elle correspond à
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une fonction C syntaxiquement correcte (La reconaissance de la syntaxe C peut être faite grâce à un automate, qui termine toujours dans un
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temps fini). Si c'est une fonction C syntaxiquement correcte, on l'affiche, et dans tous les cas on passe à la suivante et on recommance.
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Pour les fonctions C qui ne bouclent jamais, c'est impossible : halting problem.
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TODO: Mettre l'explication du prof en cours pour le halting problem. Mots-clés : ensemble récursivement énumérable, ensemble effectivement
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énumérable, ensemble calculable (dénombrable ?). Je ne me souviens plus des détails de la démo, mais je peux la retrouver si personne
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d'autre n'y arrive. (Georges)
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TODO: Je ne sais pas comment répondre à cette question (jc)
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\section{Partie pratique sur les algorithmes de flots}
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