Ajout du de la demonstration du probleme de l'arret

rapport.tex

@@ -525,13 +525,13 @@ $$
 Les $z_i$ sont des variables % TODO JOHN !!!! : corrige le nom "variable", je ne sais pas comment on dit.
 qu'on crée pour relier les clauses entre elles, et qui n'existent pas dans la formule.
 
-Par exemple, la clause ${a, \lnot b, c d}$ sera transformée en deux clauses : ${a, \lnot b, z_1}$ et ${\lnot z_1, c, d}$, et la clause
+Par exemple, la clause ${a, \lnot b, c, d}$ sera transformée en deux clauses : ${a, \lnot b, z_1}$ et ${\lnot z_1, c, d}$, et la clause
 ${\lnot a, b, \lnot c, d, e}$ sera transformée en trois clauses : ${\lnot a, b, z_1}$ et ${\lnot z_1, \lnot c, z_2}$ et ${\lnot z_2, d, e}$.
 
 Les clauses créées sont équivalentes à la clause d'origine car, à chaque fois, soit un des littéraux d'origine vérifie la clause, et $z_i$
 peut être faux, ce qui permet au $\lnot z_i$ de valider la clause suivante, de proche en proche, soit aucun des littéraux d'origine ne
 vérifie la clause, auquel cas, si on prend un $z_i$ faux, la clause est fausse, et si on prend un $z_i$ vrai, la clause suivante contiendra
-$\lnot z_i$ qui sera faux, et le résultat dépendra des variables de la clause suivante (ou des suivantes). % TODO BERTRAND : éclaircir ça, c'est mal expliqué.
+$\lnot z_i$ qui sera faux, et le résultat dépendra des variables de la clause suivante (ou des suivantes). % TODO BERTRAND: éclaircir ça, c'est mal expliqué.
 
 Si on souhaite que le résultat soit strictement 3-SAT (toutes les clauses contiennent 3 littéraux, pas plus, pas moins), on applique les transformations suivantes :
 \begin{itemize}
@@ -1503,6 +1503,29 @@ TODO: Mettre l'explication du prof en cours pour le halting problem. Mots-clés
 énumérable, ensemble calculable (dénombrable ?). Je ne me souviens plus des détails de la démo, mais je peux la retrouver si personne
 d'autre n'y arrive. (Georges)
 
+TODO : Ajouter par BERTRAND
+On ne peut pas enumerer toutes les fonctions C qui ne bouclent jamais.
+En effet, supposons qu'il existe un programme $h(p, x)$ tel que :
+\[
+h(p, x) = \left\{
+\begin{array}{ll}
+  1 & \qquad \mathrm{si}\ p(x)\ est\ defini \\
+  0 & \qquad \mathrm{sinon} \\
+\end{array}
+\right.
+\]
+On pourrais alors construire le programme $gamma(n)$ suivant :
+\begin{lstlisting}[language=C]
+  int gamma(int x) {
+    if (h(gamma, x))
+     while (1);
+    else
+     return (0);
+  }
+\end{lstlisting}
+Si $\gamma(n)$ est defini alors $\gamma(n)$ boucle et donc n'est pas defini. Si $\gamma(n)$ est non defini alors $\gamma(n)$ retourne 0 donc est defini.
+Dans les deux cas, il y a contradiction, et donc on ne peut pas enumerer toutes les fonctions C qui ne bouclent jamais.
+
 TODO: Je ne sais pas comment répondre à cette question (jc)
 
 \section{Partie pratique sur les algorithmes de flots}